Πέμπτη, 18 Σεπτεμβρίου 2014

Λέοναρντ Όιλερ - ¨Ο ΑΕΤΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ¨ (Leonard Euler, 15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783)




Λέοναρντ Όιλερ - ¨Ο ΑΕΤΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ¨
(Leonard Euler, 15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783)
«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί...»

Είναι χαρακτηριστικός ο λόγος που είπε στο Γάλλο άθεο φιλόσοφο Ντενί Ντιντερό, όταν η Τσαρίνα της Ρωσίας Μεγάλη Αικατερίνη είχε καλέσει τον Όιλερ στην Αυλή της, σε μία προσπάθεια να σταματήσει την αθυροστομία του Ντιντερό. Ο Ελβετός είπε στο Γάλλο: «Κύριε, ( α + β ) / ν = χ, άρα ο Θεός υπάρχει. Απαντήστε!». Έτσι, ο Ντιντερό αποχώρησε ηττημένος.

Τα τελευταία 17 χρόνια της ζωής του ο διάσημος μαθηματικός ήταν σχεδόν τυφλός. Αυτό, όμως, δεν τον εμπόδισε να εργάζεται. Η εκπληκτική μνήμη του σε συνδυασμό με τη διανοητική του διαύγεια, τού ήταν αρκετές για να πραγματοποιεί προφορικά τους υπολογισμούς του, τους οποίους υπαγόρευε στη γραμματέα του. Μάλιστα, την περίοδο της τύφλωσής του παρήγαγε το μισό από το συνολικό του έργο.

Πέθανε στις 18 Σεπτεμβρίου 1783. Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Ζαν ντε Κοντορσέ είπε στον επικήδειο: «Ο Όιλερ σταμάτησε να ζει και να υπολογίζει»

Ο Οιλερ γεννήθηκε το 1707 στην πόλη Βάσελ της Ελβετίας. Ο ιερωμένος πατέρας του ήλπιζε ότι ο γιός του θα ακολουθούσε τη δική του σταδιοδρομία στην Εκκλησία αλλά το πρώιμο μαθηματικό ταλέντο που επέδειξε ο μικρός Λέοναρντ, γρήγορα τράβηξε την προσοχή των «ειδικών» και οι διάφορες ακαδημίες της Ευρώπης άρχισαν να τον προσεγγίζουν.

Ανάμεσα στις πολλές προσφορές, ο Οιλερ επέλεξε τελικά εκείνη που του έκανε το 1726 η Ακαδημία των Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης -η αιχμή του δόρατος της προσπάθειας του Μεγάλου Πέτρου για βελτίωση της εκπαίδευσης στη Ρωσία. Κι έτσι, τον Μάιο του 1727, ο Οιλερ, μετά από ένα επίπονο ταξίδι 7 εβδομάδων, φτάνει στην Αγία Πετρούπολη για να εκπληρώσει τα μαθηματικά του όνειρα.

Στα μέσα του 18ου αιώνα, στην προεπαναστατική Ευρώπη, το βασικό σύστημα διακυβέρνησης είναι η πεφωτισμένη δεσποτεία: ο Φρειδερίκος ο Μέγας στο Βερολίνο, ο Μέγας Πέτρος και η Μεγάλη Αικατερίνη στην Αγία Πετρούπολη, ο Λουδοβίκος ΙΕ’ και ο Λουδοβίκος ΙΣΤ’ στο Παρίσι. Οι ακαδημίες που στηρίζουν τον Διαφωτισμό λειτουργούν χάρη στις χορηγίες τους. Κι αυτοί, με τη σειρά τους, θεωρούν σημαντικό για το κύρος τους να φιλοξενούν στην Αυλή τους διανοούμενους, έχοντας ταυτόχρονα πλήρη συνείδηση της προοπτικής που ανοίγουν οι φυσικές επιστήμες και τα Μαθηματικά στη στρατιωτική και βιομηχανική ισχύ των χωρών τους..


Ο Οιλερ αγαπούσε πολύ τη μουσική. Υστερα από μια δύσκολη μέρα γεμάτη υπολογισμούς, συνήθιζε να χαλαρώνει παίζοντας πιάνο. Πίστευε ότι πίσω από την ομορφιά ορισμένων ηχητικών συνδυασμών βρίσκονται οι πρώτοι αριθμοί ( βλ. και «Η μουσική των πρώτων αριθμών» του Αγγλου μαθηματικού Μάρκους ντι Σοτόι που κυκλοφόρησε πρόσφατα στην Ελλάδα από τις εκδόσεις Τραυλός ) και μάλιστα, κάποια στιγμή, συνέγραψε και μια πραγματεία για τη θεωρία της μουσικής. Αλλά, από ειρωνεία της τύχης, η πραγματεία του θεωρήθηκε ως υπερβολικά μαθηματική από τους μουσικούς και υπερβολικά μουσική από τους μαθηματικούς…

Μια από τις πιο γνωστές επιτυχίες του υπήρξε η λύση του προβλήματος με τις γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ. Ο ποταμός Πρέγκελ, γνωστός σήμερα ως Πρεγκόλια, διασχίζει το Κένιγκσμπεργκ, που την εποχή του Οιλερ ήταν μέρος της Πρωσίας ( σήμερα ανήκει στη Ρωσία και ονομάζεται Καλίνινγκραντ ). Ο ποταμός χωρίζεται και δημιουργεί δύο νησάκια στο κέντρο της πόλης. Οι κάτοικοι του Κένινγκσμπεργκ είχαν κατασκευάσει επτά γέφυρες για να εξασφαλίσουν τη συγκοινωνία μεταξύ των διαφόρων τμημάτων της πόλης. Το πρόβλημα αν μπορούσε κάποιος να περιηγηθεί την πόλη, περνώντας από κάθε γέφυρα μία μόνο φορά και να επιστρέψει στο σημείο απ’όπου είχε ξεκινήσει, ήταν ένα αίνιγμα που απασχολούσε για πολλά χρόνια τους κατοίκους. Τελικά, το 1735, ο Οιλερ απέδειξε ότι κάτι τέτοιο ήταν αδύνατον – η απόδειξή του αναφέρεται συχνά ως η απαρχή της Τοπολογίας, ενός κλάδου των Μαθηματικών για τον οποίο οι φυσικές λεπτομέρειες του προβλήματος δεν παίζουν κανέναν ρόλο. Στην απόδειξη του Οιλερ, σημασία έχει το δίκτυο των συνδέσεων μεταξύ των διαφόρων τμημάτων της πόλης και όχι η συγκεκριμένη θέση τους, ή οι αποστάσεις μεταξύ τους. Ο χάρτης του Μετρό του Λονδίνου είναι ένα αντίστοιχο παράδειγμα.

Αλλά παρόλο το ενδιαφέρον του για τις αποδείξεις, ο Οιλερ ήταν βαθιά μέσα του ένας πειραματικός μαθηματικός. Ετσι, πολλά από τα επιχειρήματά του δεν χαρακτηρίζονταν από την απαραίτητη αυστηρότητα. Ωστόσο αυτό δεν τον απασχολούσε, ιδιαίτερα αν, μέσω μιας τέτοιας οδού, οδηγούνταν σε νέες ανακαλύψεις. Διέθετε ιδιαίτερες υπολογιστικές ικανότητες ενώ ήταν άριστος στον χειρισμό των μαθηματικών τύπων με τρόπο που να αναδεικνύουν απροσδόκητα αποτελέσματα. Οπως παρατήρησε ο -εντυπωσιασμένος- Γάλλος ακαδημαικός Φρανσουά Αραγκό: «ο Οιλερ υπολόγιζε χωρίς εμφανή προσπάθεια, με την ίδια άνεση που οι άνθρωποι αναπνέουν και οι αετοί μετεωρίζονται στον αέρα».

Χάρη στην πολύχρονη σκληρή εργασία του αλλά και το αδιαμφησβήτητο φυσικό του ταλέντο, ο Οιλερ, παραμένει ακόμη και σήμερα, ο πολυγραφότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Το έργο που άφησε πίσω του φτάνει τους 75 τόμους! Η παραγωγή του υπήρξε τόσο μαζική ώστε η Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης συνέχισε να εκδίδει εργασίες του που είχαν αποθηκευτεί στα αρχεία της, κάπου 50 χρόνια μετά τον θάνατό του, το 1783..


ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)
Αναστάσιος Χαχλάκης
15 Σεπτεμβρίου 2009 στις 10:43 μ.μ.


ΕΣΤΩ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ: ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ν=1,2,3,..., ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Ζ=....,-3,-2,-1,0,1,2,3... ΚΑΙ Ν(i)=ΝχΝχΝ...χΝ ΟΠΟΥ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ i ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ, i=1,2,3,..



ΟΡΙΣΜΟΣ1: ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΤΗ ΓΝΩΣΤΗ ΠΡΑΞΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (+) ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΣΥΝΟΛΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΩΣΤΕ ΜΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΑΥΤΗΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΝΑ ΠΑΡΑΓΕΤΑΙ ΟΛΟ ΤΟ Ν.



ΟΡΙΣΜΟΣ2: ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ζ ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΤΗ ΓΝΩΣΤΗ ΠΡΑΞΗ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (+) ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΩΣ ΣΥΝΟΛΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΩΣΤΕ ΜΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΑΥΤΗΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΝΑ ΠΑΡΑΓΕΤΑΙ ΟΛΟ ΤΟ Ζ.



ΟΡΙΣΜΟΣ3: ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΤΗ ΓΝΩΣΤΗ ΠΡΑΞΗ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (*) ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΥΜΕ ΩΣ ΣΥΝΟΛΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΩΣΤΕ ΜΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΑΥΤΗΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΝΑ ΠΑΡΑΓΕΤΑΙ ΟΛΟ ΤΟ Ν.



1. ΓΙΑ ΤΗ ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΠΡΩΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ:

ΕΠΕΙΔΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 1 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΑΡΑΞΕΙ ΜΟΝΟ ΤΟΝ ΕΑΥΤΟ ΤΟΥ (ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΧΡΗΣΗ), ΕΠΙΛΕΓΩ ΩΣ ΕΠΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΤΩΝ ΓΕΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΟ ΑΡΙΘΜΟ 2. Η ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΠΑΝΤΑ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΗ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟΥ, ΠΟΥ ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΕΔΩ ΕΙΝΑΙ Ο 2. ΑΥΤΟΙ ΜΑΖΙ ΚΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΠΑΡΑΞΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ 3. Ο ΕΛΑΧΙΣΤΟΣ ΜΗ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 4. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1,2,4 ΚΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΠΑΡΑΞΟΥΝ ΤΟΤΕ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 5=1+4, 6=2+4, 7=1+2+4. ΑΡΑ Ο ΕΠΟΜΕΝΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 8, Κ.Ο.Κ. ΤΕΛΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΦΑΝΕΣ (ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΕΥΚΟΛΑ) ΟΤΙ Η ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΕΙΝΑΙ Η {1,2,4,8,16,...} ΔΗΛΑΔΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 1 ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 2. (ΒΛΕΠΕ 1ο ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ ΖΥΓΑΡΙΑ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ )



2. ΟΜΟΙΩΣ Η ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ (ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΕΥΚΟΛΑ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΑΡΧΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ) ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η {....,-27,-9,-3,-1,1,3,9,27,...} ΔΗΛΑΔΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 1, ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 3 ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ ΤΟΥΣ. (ΒΛΕΠΕ 2ο ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ ΖΥΓΑΡΙΑ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ )



3. ΟΜΟΙΩΣ Η ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η {1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,.....} ΔΗΛΑΔΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 1, ΟΙ ΓΝΩΣΤΟΙ ΜΑΣ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΟΙ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕΝΟΙ ΜΟΝΟ ΜΕ ΤΟΝ ΕΑΥΤΟ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ) ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΑΥΤΩΝ ΟΠΟΥ Ο ΕΚΘΕΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ 1. (ΒΛΕΠΕ 3ο ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ ΖΥΓΑΡΙΑ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ ).



ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (του Αναστάσιου Χαχλάκη)



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ1: ΔΕ ΘΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΩ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΣΤΟΥΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΦΟΥ ΩΣ ΓΝΩΣΤΟ ΟΙ ΡΗΤΟΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ. (ΠΑΝΤΟΤΕ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΡΗΤΩΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΡΗΤΟΣ π.χ. Ο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΑΥΤΩΝ).



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ2. ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΟΤΙ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ, ΕΧΟΥΜΕ ΤΑ ΨΗΦΙΑ 0 ΚΑΙ 1. Η ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΠΟΡΕΙ ΑΠΛΑ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΖΥΓΑΡΙΑ. ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 11 ΤΟΥ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΝΑΙ 1+2+8 ΔΗΛΑΔΗ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΖΥΓΙ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 1, ΤΟ ΖΥΓΙ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 2, ΔΕΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΖΥΓΙ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4 ΚΑΙ ΤΕΛΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΖΥΓΙ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 8. ΑΡΑ ΣΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ 11 ΓΡΑΦΕΤΑΙ: 1101. ΜΕ ΑΝΑΛΟΓΟ ΤΡΟΠΟ ΓΙΝΕΤΑΙ ΚΑΙ Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΤΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ.



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ3. ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ, ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΟΤΙ ΣΤΟΥΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΛΕΓΟΜΕΝΩΝ "ΨΕΥΔΟΤΕΤΡΑΔΩΝ" (ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ). ΠΙΣΤΕΥΩ ΟΤΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ (ΔΗΛΑΔΗ ΤΡΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ: -1,0,1) ΘΑ ΕΛΥΝΕ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΦΟΥ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΟΥ 3 "ΚΑΛΥΠΤΕΙ" ΤΟΥΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ (ΘΕΤΙΚΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ) ΤΑΧΥΤΕΡΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 2.



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ4: ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟ ΟΤΙ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΒΡΕΘΕΙ ΤΥΠΟΣ ΠΟΥ ΝΑ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΕΧΩ ΤΗ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΟΤΙ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΟΥΜΕ ΔΥΟ ΔΡΟΜΟΥΣ. α) ΕΙΤΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΚΑΤ ΑΡΧΗΝ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ, ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΣ ΥΠΟΨΙΝ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ ΚΑΠΟΙΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΛΗΘΟΥΣ i ΕΧΟΥΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΟ N(ι), ΠΟΥ ΦΥΣΙΚΑ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ i ΚΑΙ ΕΠΕΙΤΑ ΝΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ, ΕΙΤΕ β) ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΣΥΝΘΕΤΟΥΣ (ΥΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΛΟΓΙΚΗ. ΘΑ ΑΝΑΦΕΡΩ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΕ ΕΠΟΜΕΝΟ ΣΧΟΛΙΟ.



ΣΤΗΝ ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ



ΣΧΟΛΙΟ:

(ΘΑ ΠΑΡΕΚΚΛΙΝΩ ΓΙΑ ΛΙΓΟ ΜΗΠΩΣ ΒΟΗΘΗΣΕΙ ΚΑΠΟΙΟΥΣ Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΟΦΕΙΛΩ ΝΑ ΠΑΡΑΔΕΧΤΩ ΟΤΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΟΤΑΝ ΗΜΟΥΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΔΕ ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ...)

AN τ(χ) Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ 2 ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ fp(χ)=(p ΣΕ ΕΚΘΕΤΗ τ(χ)) ΓΙΑ ΚΑΘΕ p ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ x € R. ΤΟΤΕ Η fp ΕΧΕΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΤΗΝ fp(χ)*τ(χ)*lnp*ln2>0, ΓΙΑ ΚΑΘΕ x € R ΑΡΑ fp ΓΝΗΣΙΑ ΑΥΞΟΥΣΑ.

ΓΙΑ ΚΑΘΕ κ=1,2,3,… KAI χ1,χ2,χ3,…,χκ € R ΘΕΩΡΩ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Fκ:RxRxRx…XR (κ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ)-->R ΜΕ Fκ(χ1,χ2,χ3,…,χκ)= fp1((τ(χ1))* fp2((τ(χ2))* fp3((τ(χ3))*…* fpκ((τ(χκ)). ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΚΑΙ Fκ ΓΝΗΣΙΑ ΑΥΞΟΥΣΑ.

ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Τ={1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,25,29,….} ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΟΤΙ Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Fκ, κ=1,2,3,… ΚΑΛΥΠΤΕΙ ΕΠΑΚΡΙΒΩΣ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΤΑΝ χ1,χ2,χ3,…,χκ € Ν, ΔΗΛΑΔΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ (ΩΣ ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΗ ΕΝΩΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ) 1-1 ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΟΥ Ν ΑΡΑ ΑΝΤΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: α)F1(0)=1, F2(0,0)=1*2, F3(0,0,0)=1*2*3=6 KAI ΓΕΝΙΚΑ F(0,0,0,…,0)=p1*p2*p3*…*pκ ΔΗΛΑΔΗ Fκ(0,0,0,…,0)= (F(κ-1)(0,0,0,..,0))* pκ

β) ΟΜΟΙΩΣ Fκ(1,1,1,…,1)=(F(κ-1)(1,1,1,..,1))*(pκ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ) ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ € Ν Fκ(λ,λ,λ,…,λ)= (F(κ-1)(λ,λ,λ,..,λ))*(pκ ΣΕ ΕΚΘΕΤΗ τ(λ)) ΚΑΙ ΤΕΛΙΚΑ Fκ(λ,λ,λ,…,λ)= (Fκ(0,0,0,…,0) ΣΕ ΕΚΘΕΤΗ τ(λ)).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΟ: ΑΣ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΙΑΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ. Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΤΟΥ ΠΡΩΤΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟΥ. Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΕΧΕΙ ΤΙΜΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΚΟΡΥΦΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΚΑΙ Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΕΧΕΙ ΤΙΜΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΚΟΡΥΦΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ. ΣΤΗΝ ΟΥΣΙΑ ΚΑΠΟΙΑ ΑΠΟ ΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΕΙΝΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΝχΝ ΚΑΙ ΤΑ ΥΠΟΛΟΙΠΑ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΣΑΝ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΝχΝχΝχ...Ν, κ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΜΕ κ=3,4,5,... (ΣΤΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΑΝΗΚΟΥΝ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΚΟΡΥΦΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΗ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ). ΑΥΤΟ ΤΕΛΙΚΑ ΕΝΙΣΧΥΕΙ ΤΗΝ ΠΕΠΟΙΘΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ 4.



ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΑ: ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΚΑΘΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ (ΜΕ ΠΛΕΥΡΕΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ) ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ, ΕΧΕΙ ΔΙΑΓΩΝΙΟ ΠΟΥ ΞΕΚΙΝΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΗΓΕΙ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΑ ΣΕ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ Σ ΕΝΑΝ ΓΝΗΣΙΟ ΥΠΟΧΩΡΟ ΤΟΥ ΝχΝχΝχ...Ν, κ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΜΕ κ=1,2,3,... (ΕΝΩ ΚΑΘΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΣΤΗ "ΔΙΧΟΤΟΜΟ"). ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΥΠΟΧΩΡΩΝ ΚΑΙ "ΔΙΧΟΤΟΜΟΥ" ΜΑΖΙ ΕΙΝΑΙ 2 ΣΤΗΝ κ ΣΥΝ 1.





Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ...(ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) .
19 Απριλίου 2010 στις 3:19 μ.μ.


ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΣΤΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΤΑΙ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΗ ΣΑΦΩΣ ΠΛΕΟΝΕΚΤΕΙ ΕΝΑΝΤΙ ΜΕΘΟΔΩΝ ΟΠΩΣ ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ ( Ή ΚΑΙ ΑΛΛΩΝ ΓΝΩΣΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ Π.Χ. ΛΕΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΚΟΣΚΙΝΑ, ΒΛ: http://www.iem.uni-due.de/~magiolad/smooth/smooth.doc) ΑΦΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ (ΒΛ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ ΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ min TOY Zermelo).

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΟΛΩΝ ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΕΙΝΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, ΑΠΟ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ, ΠΡΟΦΑΝΩΣ, ΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΩΣ ΥΠΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Η ΖΗΤΟΥΜΕΝΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΩΝ ΓΝΩΣΤΩΝ ΜΑΣ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΑΥΤΟ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΟΤΙ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΒΗΜΑΤΑ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΚΑΙ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ ΤΥΠΟ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

Δηλαδή θεωρούμε:

Τους αριθμούς π(0)=1, π(1)=2, π(2)=3,

Τα σύνολα Ν(i)={1,2,3,...,i}, για κάθε i=1,2,3,...

Τα σύνολα Σ(1)={1} , Σ(2)=Σ(1)U{1*2}={1,2}, Σ(3)=Σ(2)U{1*3, 1*2*3}={1,2,3,6},

Τον αριθμό π(3)=minΑ(1*2*3)=minA(6)=min[N(6) - Σ(3)]= min{4,5},

...

και γενικά για κάθε φυσικό αριθμό κ θεωρούμε:

Το σύνολο Σ(κ+1)=Σ(κ)U{xi*π(κ)/xi ανήκει στο Σ(κ) για κάθε i=1,2,3,..,κ-1 },

και τον αριθμό π(κ+1)=minΑ(1*2*3*...*π(κ))=min[Ν(1*2*3*...*π(κ)) - Σ(κ)]

Τότε το σύνολο Π={π(0)=1, π(1)=2, π(2)=3,..., π(κ),..} είναι το σύνολο των γενικευμένων πρώτων αριθμών και το σύνολο P={p(i)/ όπου p(i) ανήκει στο Π με SQR(p(i)) δεν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς } είναι το ζητούμενο σύνολο με στοιχεία την ακολουθία των πρώτων αριθμών. Η απόδειξη είναι προφανής με τη βοήθεια του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας του Ευκλείδη...






Διαβάστε επίσης ( από όπου και οι πηγές του γράφοντος)  :
Συνάρτηση Όιλερ

Ο Όιλερ και το πρόβλημα των 36 αξιωματικών !!!!


Sudoko και Μαθηματικά / Μπορείτε να λύσετε το δυσκολότερο Sudoku;

Θεωρία γράφων

Το Κόσκινο του Όιλερ - Κόσκινο του Ερατοσθένη


Αναρτήθηκε στο facebook από τον Αναστάσιο Χαχλάκη τις 27/1/2012

Αναστάσιος Χαχλάκης
27 Ιανουαρίου 2012